Сторона BC треугольника ABC в три раза больше стороны AB. На стороне BC взята точка D так, что отрезок BD в два раза больше, чем CD. Биссектриса BE треугольника ABC пересекает AD в точке F. Определить площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника AEF равна 8.

Из условия задачи получаем, что BC = 3AB, BD = 2CD.

Поскольку в треугольнике ABC стороны BC и AB представлены в отношении 3:1, а площади треугольников имеют отношение сторон равное квадрату отношения площадей треугольников – то площадь треугольника ABC будет 9 раз больше площади треугольника AEF.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, нужно определить площадь треугольника AEF и затем умножить ее на 9.

Дано, что площадь треугольника AEF равна 8.

Теперь рассмотрим треугольник ABC.

Из того, что BD = 2CD, а площади треугольников имеют отношение сторон равное квадрату отношения площадей треугольников – площадь треугольника ABC будет отношение (BD² : CD²) раз площадь треугольника ACD.

Из того, что BC = 3AB, площади треугольников имеют отношение сторон равное квадрату отношения площадей треугольников – площадь треугольника ACD будет 9 раз больше площади треугольника AEF.

Затем, чтобы найти площадь треугольника ABC, нужно умножить площадь треугольника ACD на 9.

Известно, что площадь треугольника AEF равна 8. Значит, площадь треугольника ACD будет 8 * 9 = 72.

И, окончательно, площадь треугольника ABC будет 72 * 9 = 648.