Для решения задачи нам понадобится найти высоту боковой грани призмы, длину ребра основания и радиус вписанного цилиндра.
1. Рассмотрим правильный треугольник, образованный двумя ребрами основания призмы и диагональю боковой грани. Угол между этой диагональю и одним из ребер основания равен 45°. Значит, каждый из острых углов этого треугольника равен 45°.
2. Так как треугольник является правильным, то каждый его угол равен 60°. Из этого следует, что два из трех ребер основания равны друг другу и образуют угол 60° с диагональю боковой грани.
3. Обозначим длину ребра основания через а. Тогда можно записать уравнение: cos 60° = a/18. Из этого уравнения получаем: a = 9√3.
4. Теперь найдем высоту боковой грани призмы. Высота боковой грани — это расстояние от вершины треугольника до плоскости основания. Чтобы найти высоту, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Обозначим высоту через h. Тогда можем записать уравнение: h² = 18² – (9√3)². Решив это уравнение, получаем: h = 9.
5. Наконец, радиус вписанного цилиндра равен высоте боковой грани призмы, то есть r = 9.
6. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле S = 2πrh, где r — радиус цилиндра, h — высота цилиндра. Подставляя значения, получим: S = 2π * 9 * 9 = 162π.
Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, равна 162π (или примерно 508.94) квадратных сантиметров.