Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90 градусам. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их половине разности.

Для начала, обозначим вершины трапеции как A, B, C и D, где AB и CD – основания. Пусть E и F – середины оснований AB и CD соответственно, а O – середина отрезка EF.

Заметим, что треугольник AEO и треугольник CFO – равнобедренные, так как AE = EO (как радиус окружности, описанной вокруг треугольника AEF), CF = OF (по той же причине).

Также треугольник AEO и треугольник CFO – подобные, так как углы EAO и OCФ оба равны 90° (в сумме дают 180°), а углы AEO и CFO являются соответствующими углами при равных сторонах.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон AEO и CFO равно отношению длин сторон EO и OF.

Однако стороны AEO и CFO это отрезки, соединяющие середины оснований трапеции AB и CD с центром O. Значит, отношение длин сторон AEO и CFO равно отношению длин отрезка EF и отрезка CO, поскольку О является серединой отрезка EF.

Таким образом, мы получаем, что отношение длин сторон AEO и CFO равно отношению длин отрезка EF и отрезка CO. Но стороны AEO и CFO это половины оснований AB и CD, соответственно. То есть, отношение длин сторон AEO и CFO равно отношению половин оснований AB и CD.

Следовательно, отношение длин отрезка EF и отрезка CO равно отношению половин оснований AB и CD.

Так как отрезок CO соединяет середины оснований AB и CD, а отрезок EF это половина разности оснований AB и CD, то мы можем заключить, что отрезок CO равен половине разности оснований AB и CD.

Таким образом, отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их половине разности.