Сумма всех ребер параллелепипеда А BCDA1B1C1D1 равна 240. Определите длины рёбер АВ, ВС и ВВ1, если: AB/BC=4/5, BC/BB1=5/6

Пусть AB = 4x, BC = 5x и BB1 = 6y.

Сумма всех ребер параллелепипеда равна 240, поэтому получаем уравнение:
AB + BC + BB1 + AD + A1D1 + A1B1 + C1D1 + C1C + A1C + A1B + B1D + C1B = 240.

Заменяем AB, BC и BB1 на 4x, 5x и 6y соответственно:
4x + 5x + 6y + AD + A1D1 + A1B1 + C1D1 + C1C + A1C + A1B + B1D + C1B = 240.

Заметим, что AC = AB + BC = 4x + 5x = 9x.

Далее заменяем A1C на AC (∵ A1C и AC – одной прямой) и A1D на AD и получаем:
9x + 6y + AD + A1B1 + C1D1 + C1C + AD + A1B + B1D + C1B = 240.

Сгруппируем по переменным:
18x + 6y + AD + A1B1 + A1B + B1D + C1D1 + C1C + C1B = 240.

Обозначим величину AD + A1B1 + A1B + B1D + C1D1 + C1C + C1B как Z.

По условию BC/BB1 = 5/6 → BB1 = (6/5) * BC = (6/5) * 5x = 6x.

Заменим BB1 в уравнении Z на 6x:
Z = AD + A1B1 + A1B + B1D + C1D1 + C1C + C1B = AD + A1B1 + A1B + B1D + C1D1 + C1C + C1B + 6x.

Выразим AD из BC и BB1:
BC = AB + AC → 5x = 4x + 9x → 5x – 4x = 9x → x = 5.

AD = AC – BC = 9x – 5x = 4x = 4 * 5 = 20.

Теперь можно заменить AD и BB1 в уравнении Z на 20 и 6x соответственно:
Z = 20 + A1B1 + A1B + B1D + C1D1 + C1C + C1B + 6x.

Подставляем данное выражение для Z в уравнение для суммы всех ребер:
18x + 6y + 20 + A1B1 + A1B + B1D + C1D1 + C1C + C1B + 6x = 240.

Упрощаем:
24x + 6y + A1B1 + A1B + B1D + C1D1 + C1C + C1B = 220.

Так как A1B, B1D и C1B – стороны прямолинейного треугольника, то A1B + B1D + C1B = 2P, где P – его полупериметр.

Пусть P = s, тогда A1B + B1D + C1B = 2s.

Продолжим упрощать уравнение:
24x + 6y + A1B1 + 2s = 220.

Теперь вернёмся к соотношению AB/BC = 4/5:
AB/BC = 4/5 → 4x/5x = 4/5 → 4/5 = 4/5 → x = 1.

Значит, AB = 4 * 1 = 4, BC = 5 * 1 = 5.

Подставим значения в уравнение:
24 * 1 + 6y + A1B1 + 2s = 220.

Упростим:
6y + A1B1 + 2s = 196.

В итоге, получаем систему уравнений:
18 + 6y + A1B1 + A1B + B1D + C1D1 + C1C + C1B = 220,
6y + A1B1 + 2s = 196.

Эту систему можно решить, зная все данные.