Точка  � S лежит вне плоскости треугольника  � � � ABC. Точки  � 1 A 1 ​ ,  � 1 B 1 ​  и  � 1 C 1 ​  принадлежат отрезкам  � � SA,  � � SB и  � � SC соответственно так, что  � � � � 1 = � � � � 1 = � � � � 1 = 3 2 SA 1 ​ SA ​ = SB 1 ​ SB ​ = SC 1 ​ SC ​ = 2 3 ​ . Найди площадь треугольника  � 1 � 1 � 1 A 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ , если площадь треугольника  � � � ABC равна  18 18.

Для начала вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона. Пусть стороны треугольника ABC равны a, b и c, а полупериметр равен s. Тогда площадь треугольника равна S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)). Зная, что площадь треугольника ABC равна 18, мы можем выразить s через a, b и c: s = 2S/(a+b+c).

Затем найдем координаты точек A1, B1 и C1. Расстояние между точками S и A1 равно 3/2 * SA, расстояние между точками S и B1 равно 3/2 * SB, а расстояние между точками S и C1 равно 3/2 * SC. Зная координаты точки S и эти расстояния, мы можем выразить координаты точек A1, B1 и C1 с помощью векторных операций.

И наконец, найдем площадь треугольника A1B1C1. Для этого мы можем использовать формулу площади треугольника через координаты его вершин. Площадь треугольника A1B1C1 равна половине модуля векторного произведения векторов A1B1 и A1C1.

Шаги решения:
1. Вычислить полупериметр треугольника ABC: s = 2S/(a+b+c).
2. Найти координаты точек A1, B1 и C1 с помощью векторных операций:
A1 = S + (3/2 * SA) * (A – S) / SA,
B1 = S + (3/2 * SB) * (B – S) / SB,
C1 = S + (3/2 * SC) * (C – S) / SC.
3. Вычислить площадь треугольника A1B1C1 с помощью формулы через координаты его вершин:
S1 = 1/2 * |(A1 – B1) x (A1 – C1)|.

Ответ: площадь треугольника A1B1C1 равна S1.