Доказательство следует из свойств медиан треугольника.
1. Пусть треугольник ABC – равнобедренный, где AB = AC.
2. Пусть М – середина основания BC треугольника ABC.
3. Проведем медиану AM, которая пересекает сторону BC в точке D.
4. Обозначим точки так: BM = MC = x и AD = DM = h (половина медианы).
5. Заметим, что треугольник ADC – прямоугольный, так как AD является высотой треугольника ABC, а точка D лежит на его основании BC.
6. В прямоугольном треугольнике ADC применим теорему Пифагора: AD^2 + CD^2 = AC^2.
7. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = AB, и мы можем записать AC^2 вместо AB^2: AD^2 + CD^2 = AB^2.
8. Заметим, что BD = CD, так как точка D лежит на медиане, а медиана разделяет основание пополам.
9. Тогда мы можем записать CD вместо BD: AD^2 + BD^2 = AB^2.
10. Из пункта 9 следует, что AB^2 = AD^2 + BD^2.
11. Раскроем скобки в пункте 10: AB^2 = AD^2 + (BM + MD)^2.
12. Подставим значения BM = MC = x и MD = h, полученные в пункте 4, в пункте 11: AB^2 = AD^2 + (x + h)^2.
13. Заметим, что точки A и B имеют одинаковую удаленность от точки M, так как AM является медианой, а медиана разделяет сторону пополам.
14. Тогда BM = AM и BM = AB – AM.
15. Подставим значения AM = BM = x в пункт 13: x^2 = AD^2 + (x + h)^2.
16. Раскроем скобки в пункте 15: x^2 = AD^2 + x^2 + 2hx + h^2.
17. Упростим пункт 16: 0 = AD^2 + 2hx + h^2.
18. Очевидно, что левая часть уравнения в пункте 17 не зависит от точки D, так как AD является постоянной (высотой треугольника), а h – половина медианы, которая также фиксирована.
19. Значит, правая часть уравнения тоже не зависит от точки D.
20. Поскольку правая часть уравнения в пункте 17 не зависит от точки D, то это значит, что все точки D находятся на одном и том же расстоянии от вершин основания BC.
21. Значит, точка A, которая является серединой медианы AM, также находится на одинаковом расстоянии от вершин основания BC.
Таким образом, мы доказали, что точка А, лежащая на медиане треугольника ABC, находится на одинаковом расстоянии от вершин основания BC.