Пусть точка K равноудалена от вершин параллелограмма ABCD. Обозначим середину стороны AB как M, а середину стороны BC как N.
Так как K равноудалена от вершин AB и CD, то она находится на их биссектрисе. Заметим, что биссектрисы углов B и C пересекаются в точке K. Это означает, что треугольник BKN и треугольник CKM подобны, так как они имеют два угла, равных друг другу.
Из подобия треугольников BKN и CKM следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть, BN/KM = KN/MC.
Рассмотрим также треугольники ABK и CKD. Так как точка K равноудалена от вершин AB и CD, то она находится на их биссектрисах. Таким образом, этот угол ABK равен углу DCK, а угол AKB равен углу DKC. Это означает, что треугольники ABK и CKD подобны.
Из подобия треугольников ABK и CKD следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть, AB/KC = BK/CD.
Объединим полученные пропорции: BN/KM = KN/MC и AB/KC = BK/CD.
Умножим первую пропорцию на KM и вторую пропорцию на KC: BN = KN и AB = BK.
Теперь заметим, что сторона BC параллельна стороне AD, и сторона AB параллельна стороне CD. Из условия параллелограмма следует, что BN = CD и AB = AD.
Таким образом, мы получили, что BN = CD и BK = AB, а значит стороны BC и AD равны друг другу и стороны AB и CD равны друг другу.
Итак, мы доказали, что все стороны параллелограмма ABCD равны друг другу. Также мы заметили, что углы ABC и BCD равны, так как они соответственно являются углами AKB и DKC. То есть, мы доказали, что параллелограмм ABCD – прямоугольник.