Для начала заметим, что точка М может находиться только в одной из трех областей:
1) Внутри треугольника АВС;
2) Вне треугольника АВС, но внутри треугольников МАВ и МВС;
3) Вне треугольника АВС и треугольников МАВ и МВС.
Рассмотрим каждый из этих случаев:
1) Если точка М находится внутри треугольника АВС, то отрезки МА, МВ и МС пересекают стороны треугольника внутренним образом. Так как точка М лежит на отрезке МА, то МА делит сторону BC на две равные части в точке D. Аналогично, отрезок МС делит сторону AB на две равные части в точке Э. Так как МА делит сторону BC на две равные части, и МС делит сторону AB на две равные части, то отрезок АС делит отрезок DE на две равные части. Следовательно, по определению трапеции, АДЕС – трапеция.
2) Если точка М находится вне треугольника АВС, но внутри треугольника МАВ, то для этого случая по аналогии с первым случаем также можно доказать, что АДЕС – трапеция.
3) Если точка М находится вне треугольника АВС и треугольников МАВ и МВС, то отрезок СМ не пересекает сторону AB, поэтому отрезок АС параллелен отрезку DE. Кроме того, так как АМ делит отрезок BC на две равные части, а МС – отрезок АB, то отрезок СМ также делит отрезок DE на две равные части. Следовательно, АДЕС – трапеция.
Таким образом, во всех трех возможных случаях АДЕС является трапецией.