Точка М лежит на стороне ВС выпуклого четырёхугольника АВСО, причём Ви С — вершины равнобедренных треугольников с основаниями АМ и ОМ соответственно, а прямые АМ и МР перпендикулярны. а) Докажите, что биссектрисы углов. при вершинах В и С четырёхугольника АВСО, пересекаются на’стороне АО. 6) Пусть М — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь чегырёхугольнина АВОСЬ, если известно, что ВМ: МС=3:4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых АМ, ПОМ, ВМ и СМ, равна 24

а) Для доказательства пересечения биссектрис на стороне АО, обратимся к углу ВАО. Так как треугольник АВМ – равнобедренный, то угол ВМА равен углу МАВ. Кроме того, прямые АМ и МР перпендикулярны, следовательно, угол МАВ равен углу МРО. Это значит, что угол ВАМ равен углу МОР. Таким образом, биссектриса угла В пересекается со стороной АО в точке М.
Аналогично, рассмотрим угол САО. Из равнобедренности треугольника СМО угол СМО равен углу МСО. Также, угол СМО равен углу ОМС, так как прямые АМ и МР перпендикулярны. Значит, угол САО равен углу МСО. Таким образом, биссектриса угла С пересекается со стороной АО в точке М.

б) Площадь четырёхугольника АВОСЬ можно найти, вычтя площади треугольника АМС из площади четырёхугольника АМОС. Так как ВМ:МС=3:4, то площадь треугольника АМВ равна 3/7 площади четырёхугольника АМС, а площадь треугольника СМА равна 4/7 площади четырёхугольника АМС. Площадь треугольников АМВ и СМА равна (3/7)*24=72/7. Значит, площадь четырёхугольника АМОС равна 24. Таким образом, площадь четырёхугольника АВОСЬ равна 24 – 2*(72/7)=144/7.