Точка М не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. Прямая а проходит через точку М и параллельна прямой АС. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков МА и МС, параллельна плоскости прямоугольника.

Построим прямую, проходящую через середину отрезка МА и через середину отрезка МС. Обозначим середину отрезка МА как N, а середину отрезка МС как K. Обозначим точку пересечения прямой АС и плоскости прямоугольника ABCD как L.

Так как прямая а параллельна прямой АС, а отрезок МА лежит на плоскости прямоугольника ABCD, то прямая а также лежит на этой плоскости. Пусть точка N’ — проекция точки N на плоскость прямоугольника ABCD. Ясно, что N’ лежит на прямой а, так как проекция выполняется по прямой, параллельной прямой а. Также, поскольку N — середина отрезка МА, то N’ — середина отрезка М’А, где М’ — проекция точки М на плоскость прямоугольника ABCD.

Аналогично, пусть точка K’ — проекция точки K на плоскость прямоугольника ABCD. Также, точка L’ — проекция точки L на точку N’.

Теперь рассмотрим квадрилатерал MK’K’N’. Так как N’ — середина отрезка М’А, а K’ — середина отрезка М’С, то по свойству серединной перпендикулярности в данном квадрилатерале прямая, проходящая через точку L’ и параллельная отрезку М’К’, будет перпендикулярна отрезку N’K’.

Так как отрезок N’K’ лежит в плоскости прямоугольника ABCD, то прямая, проходящая через точку L’ и параллельная отрезку М’К’, параллельна этой плоскости.

Но по построению точка L’ — проекция точки L на точку N’, то есть прямая, проходящая через точки L и N, будет параллельна прямой, проходящей через точку L’ и К’. Следовательно, прямая, проходящая через середины отрезков МА и МС, параллельна плоскости прямоугольника ABCD.

Заметим, что в данном доказательстве мы пользовались свойствами параллельных прямых, проецирования и серединных перпендикуляров, что обосновывает наше решение задачи.