Точка М — середина отрезка AB, ACDM и ABEF — квадраты, лежащие по разные стороны от прямой АВ. Прямые СЕ и MF пересекаются в точке О. Докажите, что прямая ВО делит отрезок CF пополам.

Воспользуемся свойствами геометрических фигур и леммой о трёх перпендикулярах.

Пусть точка О — точка пересечения прямых СЕ и MF. Также пусть точка K — середина отрезка CF.

Так как М является серединой отрезка AB и ACDM и ABEF — квадраты, то AM и BM являются сторонами этих квадратов. Значит, AM и MB перпендикулярны к AC и BD соответственно.

Из леммы о трёх перпендикулярах следует, что OM перпендикулярна к AB.

Также из леммы о трёх перпендикулярах следует, что ОК перпендикулярна к CF.

Поскольку OM и ОК оба перпендикулярны к двум сторонам треугольника CFM, то OM параллельна ОК.

Так как точки М, О и K лежат на одной прямой, то треугольник ОMK — это прямоугольный треугольник, и его гипотенуза OK делит сторону CF пополам.

Таким образом, прямая ВО действительно делит отрезок CF пополам.

Задача доказана.