Пусть точка O – центр вписанной окружности, OI – радиус окружности, I – точка касания окружности со стороной AB. Очевидно, что трапеция ABCD – равнобедренная, так как угол ADC = 45° и AD = BC.
Поскольку OI – радиус окружности, а точка I – точка касания с равнобедренной стороной AB, то IM – радиус окружности, описанной около треугольника IMB. Очевидно, что угол IMB = 90°, поскольку ребро IM перпендикулярно стороне BM.
Таким образом, треугольник IMB – прямоугольный. Отсюда следует, что BM = BI + IM.
Мы знаем, что BC = AD, поэтому BM = BC – CM. Заметим, что CM является расстоянием от точки M до плоскости трапеции.
Следовательно, CM = BC – BM. Учитывая, что BC = AD и BM = BI + IM, получаем CM = AD – (BI + IM).
Таким образом, нас интересует нахождение расстояния CM.
Учитывая, что BC = CD = 12 и AB = AD, можем найти значение BI. Для этого найдем площадь ABCD:
S(ABCD) = (AB + CD)*h/2 = (AD + AD)*h/2 = 2AD*h/2 = AD*h.
Поскольку AD = AB и BC = CD, AD = CD = 12 и AB = BC = 12.
Также известно, что S(ABCD) = (p*(s – a)*(s – b)*(s – c))^(1/2), где p – полупериметр треугольника IMB, s – полупериметр ABC, a, b, c – длины сторон ABC.
Таким образом, 12h = (p*(p – 12)*(p – 12)*(p – 12))^(1/2), где p = (AB + BM + MI)/2.
Раскроем скобки и упростим уравнение:
12h = (p*(p – 12)*(p – 12)*(p – 12))^(1/2),
144h^2 = p*(p – 12)*(p – 12)*(p – 12),
144h^2 = p*(p^3 – 36p^2 + 432p – 1728),
144h^2 = p^4 – 36p^3 + 432p^2 – 1728p.
Для удобства заменим p^2 на x:
144h^2 = x^2 – 36x^2 + 432x – 1728,
180h^2 = x^2 – 36x^2 + 432x – 1728,
x^2 – 36x^2 + 432x – 1728 – 180h^2 = 0,
-35x^2 + 432x – 180h^2 – 1728 = 0.
Решив квадратное уравнение относительно x, можно найти его значения. Затем находим значение п и, наконец, находим значение CM, заменив x, BI и IM в нашей исходной формуле:
CM = AD – (BI + IM).