Доказательство:
1. Пусть аналитические координаты точек О, М и Е равны соответственно (х₀, у₀), (х₁, у₁) и (х₂, у₂).
2. Для начала, заметим, что условия задачи “ОМ = РE” и “МР = ОE” означают, что треугольники ОМР и РЕО равнобедренны.
3. Также, заметим, что треугольники ОМR и ПЕО являются подобными, так как угол ОМR равен углу ПЕO (по построению) и угол МОР равен углу ЕОP (по свойству равнобедренных треугольников).
4. Из подобности треугольников ОМR и ПЕО, можно сделать вывод, что соотношение длин их сторон равно: ОМ/ПЕ = ОР/ОЕ = МР/ЕО.
5. Так как ОМ = РE и МР = ОE по условию, то получаем: ОМ/ПЕ = ОР/ОЕ = МР/ЕО = 1.
6. Из этого следует, что ОМ = ОР = МР и РЕ = ОЕ.
7. Это означает, что треугольники ОМР и ПЕО равнобедренные и равные, а значит, у них все три угла равны.
8. Так как углы треугольников ZMО и ZEР равны, а uZОM = uZРE, то треугольники ZMО и ZEР равны по углам (здесь u обозначает угол).
9. Также, углы треугольников ZМРо и ZЕОР равны, а uZМРО = uZЕОР, поэтому треугольники ZМРо и ZЕОР равны по углам.
10. Таким образом, мы доказали, что ZMОР = ZEРО и ZMРо = ZEОР, что и требовалось доказать.
Обратите внимание, что в этом решении использовалась аналитическая геометрия, но можно также провести доказательство с использованием геометрических свойств равнобедренных и подобных треугольников.