Точки M и N – середины сторон AB и BC параллелограмма ABCD. Отрезки AN и DM пересекаются в точке E, а отрезки DN и CM пересекаются в точке F. Найдите EF, если AB=2, BC=5, BD=3.

Воспользуемся свойством параллелограмма, что диагонали делятся пополам:

AM = MC = 2, NC = ND = 2.5.

Перейдем к рассмотрению треугольников AED и BFC, где AE и CF – медианы, а ED и BF – стороны.

Треугольник AED: (применяем теорему о пропорциональности сегментов в плече пересечения медиан)

AE/BE = MD/BD,
AE/(AE+EC) = 1/3,
AE/(AE + 2.5) = 1/3.

Применяем свойство низкого общего знаменателя:

3AE = AE + 2.5,
2AE = 2.5.

AE = 1.25.

Треугольник BFC: (аналогично применяем теорему о пропорциональности сегментов в плече пересечения медиан)

CF / AF = BN / BA,
(BA – AE) / AF = BN / BA,
(2 – 1.25) / AF = (2.5 – 1.25) / 2,
0.75 / AF = 1.25 / 2.

Применяем свойство низкого общего знаменателя:

0.75 * 2 = 1.25 * AF,
AF = 1.5.

Теперь мы знаем, что AE = 1.25 и AF = 1.5. Найдем длину отрезка EF, используя свойство параллелограмма:

EF = M(AC) = (AM + CF) / 2 = (2 + 1.5) / 2 = 1.75.

Таким образом, длина отрезка EF равна 1.75.