Обозначим сторону ромба ABCD через s. Так как AM – это медиана треугольника ABC, то AM = BM = s/2. Аналогично, BN = CN = s/2. Отсюда следует, что AM = BN = CM = s/2.
Поскольку точки M и N являются серединами соответствующих сторон ромба, то AM || DN и BN || DM. Поэтому треугольники AMD и BND подобны. Таким же образом, треугольники CND и CDM подобны.
Из подобия треугольников AMD и BND можно записать следующее соотношение:
AN/ND = AM/MB
Так как AM = BN и CM = s/2, получаем:
AN/ND = BN/MB
Рассмотрим треугольники CND и CDM. Из их подобия получаем:
DN/NC = DM/CM
Так как CM = s/2, получаем:
DN/NC = DM/(s/2)
Заметим, что DN = AM, CM = BN и NC = MB. Тогда соотношение DN/NC может быть записано следующим образом:
DN/NC = AM/MB
Таким образом, мы получили два одинаковых соотношения: AN/ND = BN/MB и DN/NC = AM/MB.
Из этих соотношений можно заключить, что треугольники ANF и BME подобны (так как AF/ND = BE/MB и AF/NC = BE/MA).
Пользуясь тем же подобием треугольников ANF и BME, можно записать отношение длин:
EF/FN = BM/BM = 1
Отсюда следует, что EF = FN.
Так как AM = BN и AM + BN = AB, то FN = AM + BN = AB.
Теперь подставим известные значения. У нас AB = (25√2)/4, поэтому EF = FN = AB = (25√2)/4.
Таким образом, мы нашли, что EF = (25√2)/4.