Пусть точка I1 – точка пересечения биссектрис треугольника А1В1С1, а точка I – точка пересечения биссектрис треугольника АВС.
Для решения задачи воспользуемся свойством параллельных проекций: “Параллельные прямые и их проекции обладают свойством одинаковых углов”.
Докажем, что биссектриса треугольника А1В1С1 также является параллельной проекцией биссектрисы треугольника АВС:
1. Рассмотрим треугольник АВС и проведем биссектрису AI.
2. Пусть точка F1 – точка касания биссектрисы AI с стороной АВ треугольника АВС. Точка F – точка касания биссектрисы I1С1 с стороной В1С1 треугольника А1В1С1.
3. По определению биссектрис, углы AIF1 и IIF равны.
4. Треугольники AIF1 и IIF подобны по трем углам.
5. Так как соответствующие углы равны, соответствующие стороны AI и I1I также пропорциональны.
6. Аналогично, можно показать, что сторона I1F1 пропорциональна стороне IF.
7. Следовательно, треугольники АIF1 и I1IF подобны.
8. Согласно свойству подобных треугольников, биссектрисы IF1 и I1F параллельны, так как пропорциональны соответствующим сторонам треугольников.
Таким образом, мы показали, что биссектриса треугольника А1В1С1 является параллельной проекцией биссектрисы треугольника АВС. Ответ: да, верно.