Треугольник ABC имеет стороны 9, 12 и 15. Диск радиуса 1 катается внутри треугольника, всё время касаясь хотя бы одной стороны треугольника. Диск сделал полный круг, и вернулся в начальное положение. Какое расстояние за это время преодолел центр диска?

Для начала, заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как сумма квадратов катетов (9^2 + 12^2) равна квадрату гипотенузы (15^2).

Рассмотрим центр диска и проведём линии, соединяющие его с вершинами треугольника (то есть, линии, перпендикулярные сторонам треугольника и проходящие через центр диска). Обозначим эти точки как D, E и F (соответственно для точек на сторонах AB, BC и AC треугольника).

Так как каждый раз, когда диск касается стороны треугольника, линия, соединяющая центр диска и точку касания, проходит через вершину треугольника, это означает, что наш диск всегда будет двигаться по прямым DE или EF или FD.

Как только центр диска вернется в начальное положение, эти прямые должны образовать замкнутую фигуру. Заметим, что это будет прямоугольник, так как стороны DE, EF и FD – это перпендикуляры к сторонам треугольника ABC, и они будут пересекаться под прямым углом.

Таким образом, расстояние, пройденное центром диска, будет равно периметру этого прямоугольника.

Чтобы найти периметр прямоугольника, заметим, что длина стороны DE равна диаметру диска (то есть, 2 радиусам, то есть, 2) и что длина стороны EF равна высоте треугольника ABC, опущенной на сторону AC (то есть, высоте прямоугольного треугольника с катетами 9 и 12, то есть, 108/15, что равно 7.2).

Таким образом, периметр прямоугольника равен 2 + 7.2 + 2 + 7.2, то есть, 18.4.

Таким образом, центр диска преодолел расстояние в 18.4 единицы длины.