треугольнике АВС проведена прямая параллельная стороне АС, которая делит другие стороны треугольника пополам. Площадь треугольника АВС равна 12 см2. Найти площадь полученного треугольника.

Пусть прямая, параллельная стороне AC, пересекает сторону AB в точке D и сторону BC в точке E. Так как прямая делит стороны треугольника пополам, то AD = DB и BE = EC.

Обозначим площадь треугольника ADE как S. Так как AD = DB и BE = EC, то треугольники ADE и BEC равнобедренные. Значит, высоты этих треугольников, опущенные из вершин A и E, равны между собой. Обозначим эту высоту через h.

Площадь треугольника ADE равна (AD * h) / 2 и площадь треугольника BEC равна (BE * h) / 2. Так как AD = DB и BE = EC, то площади этих треугольников также равны между собой, то есть (AD * h) / 2 = (BE * h) / 2.

Так как прямая, проведенная параллельно стороне AC, делит площадь треугольника ABC пополам, то площадь треугольника ADE равна половине площади треугольника ABC. Значит, S = 12 / 2 = 6 см2.

Подставляем полученное значение S в уравнение (AD * h) / 2 = (BE * h) / 2 и находим h: (AD * h) / 2 = 6, отсюда AD * h = 12. Так как AD = DB, то h = 12 / DB.

Площадь треугольника BEC равна S = (BE * h) / 2 = (BE * 12) / (2 * DB) = (BE * 6) / DB.

Заметим, что треугольники BEC и ABC подобны. Значит, отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения их сторон. Так как BE = EC и тот же самый коэффициент пропорциональности входит и в высоту h, получаем, что площадь треугольника BEC равна (BE * 6) / DB = 6 * [BE / DB] = 6 * [EC / AC]^2.

Ранее было установлено, что h = 12 / DB. Подставляем это значение снова в уравнение (AD * h) / 2 = 6 и находим DB: (AD * (12 / DB)) / 2 = 6, отсюда AD = DB = 4.

Используем полученное значение AD = DB и площадь треугольника ABC = 12 см2 в формуле площади треугольника BEC: (BE * 6) / DB = 6 * [EC / AC]^2. Подставляем значения и находим площадь треугольника BEC.