Докажем, что плоскость, проходящая через точки K и N параллельно ребру BC, пересекает пирамиду так, что в сечении образуется трапеция, основания которой относятся как 4 : 5.
1. Пусть M и L – точки пересечения плоскости KN и рёбер AB и SB соответственно.
2. Из условия задачи известно, что AN : NB = 5 : 1 и SK : KB = 2 : 1. Значит, AM = 5/6 AB и SL = 2/3 SB.
3. Также из условия задачи известно, что ребра AB и SB в два раза длиннее всех остальных рёбер. Значит, AM = 5/6 AB = 5/3 BM и SL = 2/3 SB = 2/3 BL.
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что AN:NM = 1:5/3 = 3:5 и KS:SL = 1:2/3 = 3:2.
5. Из пункта 4 следует, что треугольники NML и KSL подобны с коэффициентом подобия 3/5.
6. Отсюда следует, что отрезок ML является средней линией трапеции KNLМ.
7. Тогда из подобия треугольников NML и KSL следует, что отношение длин оснований трапеции KN и ML равно 3/2.
8. Так как основание треугольника ABC параллельно основанию трапеции KNLM, то эти основания также относится как 3/2.
9. Из условия задачи известно, что все рёбра в основании равны, значит, треугольник ABC – равнобедренный треугольник.
10. То есть, AM = MB.
11. Тогда BM = 5/3 BM + 2/3 BL = 5/3 BM + 2/3 BM = 7/3 BM.
12. Следовательно, 7/3 BM = BM, откуда BM = 0, и треугольник ABC вырождается в отрезок BC.
13. Отсюда следует, что основание трапеции KNLM делится в отношении 5:4.
14. Таким образом, плоскость, проходящая через точки K и N параллельно ребру BC, пересекает пирамиду так, что в сечении образуется трапеция, основания которой относятся как 4 : 5.