Пусть общая середина отрезков A1A2, B1B2 и C1C2 обозначается как точка M.
Предположим, что плоскости A1B1C1 и A2B2C2 не параллельны.
Тогда существует прямая, пересекающая обе плоскости, например, прямая AB: прямая, лежащая в плоскости A1B1C1, и пересекающая плоскость A2B2C2 в точке P.
Рассмотрим точки Q и R – проекции точки P на плоскости A1B1C1 и A2B2C2 соответственно.
Так как A1A2 и B1B2 не лежат в одной плоскости, то существует одна плоскость, на которой A1A2 и AB являются перпендикулярными прямыми. Аналогично, существует плоскость, на которой B1B2 и AB перпендикулярны. Поэтому эти две плоскости должны пересекаться в прямой AB.
Поскольку плоскость A1B1C1 является плоскостью, проходящей через прямую AB, она должна проходить и через точку P, а также через точку Q.
Аналогично, плоскость A2B2C2 должна проходить через точку P и точку R.
Однако, так как точка Q принадлежит плоскости A1B1C1, а точка R принадлежит плоскости A2B2C2, то это означает, что прямые QR и AB пересекаются в точке M.
Поскольку точка M является серединой отрезка AB и одновременно принадлежит прямой QR, эта точка должна быть серединой отрезка QR.
Но это невозможно, потому что точки Q и R – проекции одной точки P на разные плоскости и не могут быть равноудалены от точки P.
Следовательно, предположение о непараллельности плоскостей A1B1C1 и A2B2C2 является неверным.
Таким образом, можно заключить, что плоскости A1B1C1 и A2B2C2 параллельны.