Для решения данной задачи используем следующие шаги:
1. Найдем длину меньшего катета треугольника ABC. Так как угол A равен 30°, то это прямоугольный треугольник, и у нас есть длины двух сторон – большего катета и гипотенузы. Используем тригонометрическое соотношение синуса: sin(30°) = a/c, где a – меньший катет, c – гипотенуза. Подставим известные значения: sin(30°) = a/1. Решая это уравнение, найдем, что a = 1/2.
2. Найдем длину большего катета треугольника ABC. Используем те же тригонометрические соотношения, но уже для cos(30°) = b/c, где b – больший катет, c – гипотенуза. Подставим известные значения: cos(30°) = b/1. Решим уравнение и найдем, что b = √3/2.
3. Найдем площадь основания конуса, полученного вращением треугольника вокруг меньшего катета. Площадь основания равна площади круга с радиусом, равным длине меньшего катета. Используем формулу площади круга: S = π * r^2, где r – радиус круга. Так как a = 1/2, то r = 1/4. Подставим значения и найдем площадь основания.
4. Найдем высоту конуса, полученного вращением треугольника вокруг большего катета. Так как у нас прямоугольный треугольник, то высота равна большему катету. Значит, h = √3/2.
5. Так как известны площадь основания и высота конуса, можно найти его объем. Объем конуса равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту: V = (1/3) * S * h.
6. Подставим известные значения в формулу объема и найдем искомое значение.
Таким образом, после выполнения всех шагов решения задачи мы найдем объем конуса, полученного вращением треугольника вокруг меньшего катета.