Угол A и B треугольника ABC равны углам A1 B1 треугольника A1 B1 C1 соответственно. Известно, что A1B1=5, B1C1=4, A1C1=6 и BC_B1C1=3. Найдите наибольшую сторону треугольника ABC.

Представим треугольник ABC и треугольник A1B1C1 так, чтобы стороны A1B1 и B1C1 находились на продолжении сторон AB и BC соответственно.
Заметим, что по условию угол A1B1C1 равен углу ABC. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 подобны.

Так как треугольник ABC является подобным треугольнику A1B1C1, мы можем использовать соотношение сторон: AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1. Значение AB/A1B1 равно 3 по условию, так как BC:B1C1 = 3.

Теперь найдем значение отношения AC/A1C1. Поскольку A1C1 = 6 и AC/A1C1 = AB/A1B1 = 3, мы получаем AC = 18.

Так как треугольники ABC и A1B1C1 подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. Значит, AC:BC = A1C1:B1C1 = 6:4 = 3:2.

Теперь мы знаем, что AC = 18 и AC:BC = 3:2. Из этого следует, что 18:BC = 3:2, тогда BC = 12.

Таким образом, наибольшая сторона треугольника ABC равна 18.