Условие В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что ∠ABD = ∠C. Найдите отрезки AD и DC, если AB = 2 и AC = 4.

Пусть точка M – середина стороны AC. Так как AM = MC = 2, то треугольник AMC – равнобедренный. Также по условию ∠ABD = ∠C. Значит, ∠ABD = ∠AMC. Тогда треугольники ABD и AMC подобны (по двум углам), их гипотенузы пропорциональны. То есть AB/AD = AM/AC, откуда AD = (AB*AC)/AM = (2*4)/2 = 4.

Теперь найдем DC. Рассмотрим треугольник BDC. Углы этого треугольника равны ∠B = ∠D + ∠C. Заметим, что ∠D + ∠C = ∠ABD + ∠C = ∠ABD + ∠AMC = ∠BMC = ∠BCD (по теореме о вписанном угле). Значит, треугольник BDC – равнобедренный, и DC = BD = AB = 2.

Итак, получаем, что AD = 4 и DC = 2.