В аффинном базисе {vec e_1,,vec e_2,,vec e_3} даны четыре вектора vec a=(2;-1;3),,vec b=(2;1;-1),,vec c=(3;-1;2),,vec d=(-3;2;1). Найти вектор, являющийся проекцией вектора vec d на плоскость векторов vec a и vec b при направлении проектирования, параллельном вектору vec c.

Дано: аффинный базис {vec e_1, vec e_2, vec e_3}, векторы vec a = (2;-1;3), vec b = (2;1;-1), vec c = (3;-1;2), vec d = (-3;2;1).

Чтобы найти вектор, являющийся проекцией вектора vec d на плоскость, образованную векторами vec a и vec b, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем нормальный вектор плоскости, образованной векторами vec a и vec b. Для этого возьмем векторное произведение vec n = vec a × vec b.

2. Нормализуем полученный нормальный вектор vec n, делением его на его длину: vec n = vec n / ||vec n||.

3. Найдем проекцию вектора vec d на направление, параллельное вектору vec c. Для этого используем проекцию вектора vec d на вектор vec c. Формула проекции вектора vec v на вектор vec u: proj_u(v) = (vec v · vec u) / ||vec u||^2 * vec u.

4. Найдем длину вектора proj_c(d) и умножим нормализованный вектор, полученный на шаге 2, на эту длину: vec proj = ||proj_c(d)|| * vec n.

5. Наконец, найдем конечную точку проецирования, добавив вектор vec proj к начальной точке vec d: vec res = vec d + vec proj.

Таким образом, вектор vec res является проекцией вектора vec d на плоскость, образованную векторами vec a и vec b при направлении проектирования, параллельном вектору vec c.