Пусть ABCD — исследуемый четырехугольник, вписанный в окружность с центром O. Пусть углы ABC и ADC равны соответственно α и β. Так как сумма противоположных углов равна 120º, то углы BCD и BAD равны соответственно 180º — α и 180º — β.
Обозначим через a и c длины сторон AB и AD, соответственно. Из периметра четырехугольника следует, что a + c + b + d = 2πR, где R — радиус описанной окружности, а b и d — длины сторон BC и CD.
Известно, что произведение сторон четырехугольника ABCD равно 972, то есть ac = bd. Таким образом, имеем систему уравнений:
ac = bd,
a + c + b + d = 2πR.
Решая эту систему уравнений, получаем два возможных набора значений для a, b, c, d: {a = 9, b = 2, c = 18, d = 1} и {a = 18, b = 1, c = 9, d = 2}.
Теперь мы можем найти площадь четырехугольника. Пусть h1 и h2 высоты, проведенные из вершин A и C соответственно. Тогда площадь ABCD равна S = (a*h1 + c*h2)/2. Так как ABC и CDA — подобные треугольники, то отношение высот h1 и h2 равно отношению соответствующих сторон, то есть h1/h2 = a/c. Таким образом, h1 = (a/c)*h2. Подставляя это в формулу для площади ABCD, получаем S = ((a/c)*h2 + c*h2)/2 = (a/c + c)*h2/2.
Теперь посчитаем площадь для обоих наборов значений сторон:
S1 = ((9/18 + 18)*h2)/2 = (1/2 + 18)*h2 = 18.5*h2,
S2 = ((18/9 + 9)*h2)/2 = (2 + 9)*h2/2 = 11.5*h2.
Заметим, что площадь четырехугольника обратно пропорциональна высоте h2, и следовательно, чем больше высота, тем меньше площадь. Так как площадь строго положительная, то pлощадь S1 больше площади S2.
Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна S = S1 = 18.5*h2.