На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Периметр четырёхугольника MNKP равен сумме всех его сторон. Чтобы найти периметр, необходимо найти длины всех его сторон: MN, NK, KP и PM.
Давайте обратимся к геометрическим свойствам серединных перпендикуляров. В данном случае серединные точки М, N, K, P делят стороны ABCD пополам, и каждый из углов AMN, BKN, CKP и DMP является прямым, так как MN, NK, KP и PM – перпендикуляры к сторонам ABCD. Также стоит отметить, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
Мы знаем, что длина диагонали AC равна длине диагонали BD, то есть AO + OC = BO + OD = 10 см.
Рассмотрим треугольники AOB и BOC. По свойству серединного перпендикуляра, мы можем сказать, что NM параллельна AO и равна половине длины AO, а KP параллельна OC и равна половине длины OC. Аналогично, MP параллельна OD и равна половине длины OD, а NK параллельна BO и равна половине длины BO.
Таким образом, длины сторон MN, NK, KP и PM равны половинам длин соответствующих сторон четырёхугольника ABCD.
Итак, периметр четырёхугольника MNKP равен двукратному значению суммы длин сторон NM, NK, KP и PM.
Поскольку NM = NA + AM и NK = NB + BK, можем записать равенство 2(NM + NK) = 2(NA + NB + AM + BK).
Аналогично, PM = PC + CM и KP = KD + DP, значит
2(PM + KP) = 2(PC + PD + CM + DP).
Теперь мы должны выразить NA, NB, PC и PD через NS (AC) и SB (BD).
Мы знаем, что NS + SB = 20 см, и NS = SB.
Зная это, мы можем записать NA = NB = NS/2, и PC = PD = SB/2.
Таким образом, периметр четырёхугольника MNKP равен
2(NA + NB + AM + BK) + 2(PC + PD + CM + DP) = 2(NS/2 + NS/2 + AM + BK) + 2(SB/2 + SB/2 + CM + DP).
Упростив это выражение, получаем периметр четырёхугольника MNKP равным 2(NS + SB + AM + BK + CM + DP).
Так как NS + SB = 20 см, да и AM = BK и CM = DP (так как на геометрических свойствах серединных точек), можно заметить, что периметр равен 2*20 + AM + BK + CM + DP.
Таким образом, периметр четырёхугольника MNKP равен 40 + AM + BK + CM + DP.
Но AM + BK + CM + DP равно периметру ABCD, или двукратному значению суммы его сторон.
Поэтому, периметр четырёхугольника MNKP равен 40 + 2*(AB + BC + CD + DA).
Проверим себя и сократим это выражение:
Perimeter MNKP = 40 + 2(AB + BC + CD + DA).
Итак, периметр четырёхугольника MNKP равен 40 плюс двукратному значению суммы сторон ABCD.
