Обозначим сторону куба за a. Из условия дано, что объем пирамиды DPB₁Q равен 9. Объем пирамиды можно выразить как одну треть объема основания, умноженного на высоту пирамиды.
Обозначим высоту пирамиды за h, сторону основания DPB₁ за x и сторону основания A₁D₁ за y.
Так как точка Q является серединой ребра A₁D₁, то x = y/2.
Объем пирамиды DPB₁Q равен:
(1/3) * DPB₁ * h = 9.
Поскольку Q является серединой ребра A₁D₁, то сама пирамида DPB₁Q является четвертью объема куба ABCDA₁B₁C₁D₁.
Таким образом, объем куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равен:
V = 4 * (1/3) * DPB₁ * h.
Теперь посмотрим на основание DPB₁.
DPB₁ – это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами DP и PB₁.
Так как точка P является серединой ребра CD, то PD = PB₁ = a/2.
Таким образом, DPB₁ – прямоугольный треугольник со сторонами a/2, a и x.
Применяя теорему Пифагора для треугольника DPB₁, получаем:
(DP)² + (PB₁)² = (DB₁)².
(a/2)² + (a/2)² = x².
(a²/4) + (a²/4) = x².
(a²/2) = x².
Теперь мы можем выразить сторону основания DPB₁ через сторону куба a:
x² = (a²/2).
x = a/√2.
Возвращаясь к выражению объема куба, мы можем записать:
V = 4 * (1/3) * (x * h).
Теперь, мы можем выразить сторону основания DPB₁ через сторону куба a и сторону оcнования A₁D₁ y:
x = a/√2 = y/2.
Подставляя это выражение обратно в формулу для объема куба, мы получим:
V = 4 * (1/3) * (a/√2) * h.
Теперь нам осталось найти значения a и h.
Обратимся к пирамиде DPB₁Q. Мы знаем, что объем пирамиды равен 9:
(1/3) * (a/√2) * h = 9.
Выражая h, получаем:
h = 27 / (a * √2).
Теперь мы можем подставить это значение h в формулу для объема куба:
V = 4 * (1/3) * (a/√2) * (27 / (a * √2)).
Упрощая, получаем:
V = 36 / a.
Нам известно, что V = a³. Подставив это значение в формулу для объема куба, получаем:
a³ = 36 / a.
Решая это уравнение, мы найдем значение стороны куба a:
a⁴ = 36.
Таким образом, a = ∛36.
Подставляя это значение обратно в выражение для h, получаем:
h = 27 / (∛36 * √2).
Таким образом, сторона куба равна ∛36, а высота пирамиды равна 27 / (∛36 * √2).