Для начала, построим трехмерную модель данного куба и обозначим точки.
У нас есть куб АВСДА1В1С1Д1, где А – начало координат.
Точка Е лежит на ребре АА1, а точка К – на ребре АВ.
Обозначим точку пересечения прямой ЕК с плоскостью грани ВВ1С1С как М.
Так как точка Е лежит на ребре АА1, координаты точки Е имеют вид (0, y, z), где y и z – неизвестные координаты.
Аналогично, так как точка К лежит на ребре АВ, координаты точки К имеют вид (x, 1, z), где x и z – неизвестные координаты.
Так как точка М лежит на прямой ЕК, ее координаты можно найти, используя параметрическое представление прямой:
x = xE + m(xK – xE)
y = yE + m(yK – yE)
z = zE + m(zK – zE),
где m – параметр, который определяет положение точки М на прямой ЕК.
Также, так как точка М лежит на плоскости грани ВВ1С1С, можно записать уравнение плоскости:
x + y + (1-z) = 1.
Подставим координаты точки М в уравнение плоскости:
xE + m(xK – xE) + yE + m(yK – yE) + (1 – (zE + m(zK – zE))) = 1.
Упростим уравнение и выразим параметр m:
xE + m(xK – xE) + yE + m(yK – yE) + 1 – zE – mzK + mzE = 1,
m(xK – xE) + m(yK – yE) – mzK + (xE + yE + 1 – zE – mzE – 1) = 0,
m[(xK – xE) + (yK – yE) – zK + (xE + yE – zE – mzE)] = 0,
m[(xK – xE) + (yK – yE) – zK + (xE + yE – zE)(1 – m)] = 0.
Из этого уравнения видно, что m = 0 или (xK – xE) + (yK – yE) – zK + (xE + yE – zE)(1 – m) = 0.
Если m = 0, то точка М совпадает с точкой Е и лежит на прямой ЕК.
Если (xK – xE) + (yK – yE) – zK + (xE + yE – zE)(1 – m) = 0, то точка М совпадает с точкой К и лежит на прямой ЕК.
Таким образом, для любых значений xE, yE, zE, xK, yK, zK вычисляя параметр m по этим формулам, можем проверить, лежит ли точка М на прямой ЕК, и если да, то она лежит и на плоскости грани ВВ1С1С.
