В неравнобедренном треугольнике KLM биссектриса угла M пересекает сторону KL в точке P. Длины отрезков MP и PL равны радиусу окружности, описанной около треугольника KLM. Найдите градусную меру большего угла треугольника KLM.

Обозначим больший угол треугольника KLM через A. Заметим, что треугольник KLP является равнобедренным, так как длины отрезков MP и PL равны радиусу описанной окружности. Значит, угол KLP равен углу KPL, а значит, угол KMA равен половине угла KLP. Так как биссектриса делит угол M пополам, то угол KMA равен половине угла KML. Значит, угол KML равен удвоенному углу KMA. А угол KMA равен половине угла KLP, то есть угол KML равен углу KLP.

Таким образом, треугольник KLP имеет два равных угла: KLP и KPL. Угол KLP равен углу KML. Значит, треугольник KLM является равнобедренным, и углы KLM и KML равны. А так как углы KLM и KML составляют вместе больший угол A, то градусная мера большего угла треугольника KLM равна двойной градусной мере угла KLM, то есть углу KML.