В неравнобедренном треугольнике KLM биссектриса угла M пересекает сторону KL в точке P. Длины отрезков MP и PL равны радиусу окружности, описанной около треугольника KLM. Найдите градусную меру большего угла треугольника KLM.

Пусть а = KM, b = KL и c = LM.
Так как треугольник KLM неравнобедренный, значит у него есть две различные биссектрисы.
Обозначим α и β градусные меры углов K и L соответственно.
На основании теоремы о биссектрисе имеем, что KP / PL = KM / ML.
Из условия также следует, что MP = PL = R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника KLM.
Из равенства KM / ML = R / R = 1 следует, что KM = ML.
Теперь рассмотрим треугольник KPL.
Из условия KP / PL = KM / ML и MP = PL следует, что треугольник KPL подобен треугольнику KML по признаку угл-по-углу. То есть угол KPL равен углу KML.
Таким образом, угол KPL = α + β.
Учитывая, что треугольник KML неравнобедренный, угол KML = 2α + 2β.
Теперь рассмотрим треугольник KLM.
Угол KLM = 180° – угол KML = 180° – (2α + 2β) = 180° – 2(α + β).
Отсюда следует, что градусная мера большего угла треугольника KLM равна 180° – 2(α + β).