В основании тетраэдра  � � � � SABC лежит равносторонний треугольник  � � � ABC со стороной  4 4. Найди градусную меру угла между плоскостями  ( � � � ) (SAC) и  ( � � � ) (ABC), если  � � = 2 7 SA=2 7 ​  и ребро  � � ⊥ ( � � � ) SB⊥(ABC).

1. Построим тетраэдр SABC с указанными свойствами.
2. Поскольку треугольник ABC равносторонний, у него все углы равны 60 градусам.
3. Поскольку ребро SB перпендикулярно плоскости ABC, оно образует угол в 90 градусов с плоскостью ABC.
4. Для нахождения угла между плоскостями (SAC) и (ABC) нам нужно найти угол между вектором SA и плоскостью ABC.
5. Разложим вектор SA на две составляющие: одну, параллельную плоскости ABC, и другую, перпендикулярную ей.
6. По теореме Пифагора найдем длину составляющей, параллельной плоскости ABC. Длина составляющей, перпендикулярной плоскости ABC, уже известна – она равна SB.
7. Теперь у нас есть два вектора: один лежит в плоскости ABC, а другой перпендикулярен ей. Их скалярное произведение равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.
8. Найдем скалярное произведение векторов SA и ABC, используя длины их составляющих и известные углы. Положительная составляющая вектора SA будет равна произведению длин составляющих, а составляющая вектора ABC, лежащая в плоскости ABC, будет равна произведению длины составляющей, параллельной плоскости, на косинус угла 60 градусов.
9. Найдем косинус угла между плоскостями (SAC) и (ABC) из найденного скалярного произведения и произведения модулей векторов SA и ABC.
10. Наконец, найдем градусную меру угла, используя найденный косинус угла.