В остроугольном треугольнике � � � ABCпроведены высоты � � 1 AA 1 ​ и � � 1 . CC 1 ​ .Найдите угол � � � , ABC,если известно, что отрезок � 1 � 1 A 1 ​ C делит площадь треугольника ABCпополам. Ответ дайте в градусах.

Для решения данной задачи вспомним свойство о том, что при остроугольном треугольнике точка пересечения высот является ортоцентром треугольника.

Обозначим точку пересечения высот как O. Также введем обозначения для отрезков AO, BO и CO, как h_1, h_2 и h_3 соответственно.

Так как отрезок A_1C делит площадь треугольника ABC пополам,то:

S(A_1CO) = S(ABO) + S(ACO) = S(ABC) / 2,

где S(ABO) и S(ACO) – площади треугольников ABO и ACO соответственно.

Так как высоты проведены к сторонам треугольника ABC, площади данных треугольников можно представить, используя базис AB, AC, как:

S(ABO) = (1 / 2) * h_1 * AB,
S(ACO) = (1 / 2) * h_3 * AC.

Таким образом, уравнение примет вид:

(1 / 2) * h_1 * AB + (1 / 2) * h_3 * AC = (1 / 2) * S(ABC),

или

h_1 * AB + h_3 * AC = S(ABC).

Так как площадь ABC равна (1 / 2) * AB * AC * sin(ABC), то уравнение становится:

h_1 * AB + h_3 * AC = (1 / 2) * AB * AC * sin(ABC),

или, после сокращения AB и AC:

h_1 + h_3 = (1 / 2) * AC * sin(ABC).

Из этого уравнения можно заметить, что (1 / 2) * AC * sin(ABC) является высотой AD, проведенной к стороне BC треугольника ABC. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

h_1 + h_3 = AD.

Это означает, что сумма отрезков h_1 и h_3 равна высоте AD. Ортоцентр O является точкой пересечения высот AD и BC, поэтому двигая точку O по отрезку BC, сумма отрезков h_1 и h_3 будет изменяться, пока не станет равной высоте AD.

Таким образом, угол ABC будет равным boxed{90} градусов.