1. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC, в котором AD – высота, E – точка на этой высоте.
2. Заметим, что CE – высота в треугольнике ABE, поскольку она перпендикулярна и проходит через вершину треугольника.
3. Обозначим AC = a, AB = b, CE = x, BE = y.
4. Так как AD – высота, то AD является перпендикуляром к AB, значит треугольники ABE и ACD подобны.
5. Поэтому соотношение сторон треугольников ABE и ACD будет следующим: AD/AB = AC/AE.
6. Подставив известные значения, получим: a/b = a/(x+y).
7. Отсюда получаем, что b = x + y.
8. Теперь подставим это в изначальное равенство и получим: a – x^2 = b^2 – y^2.
9. Заметим, что a – x^2 – (b^2 – y^2) = y^2 – x^2.
10. Преобразуя правую часть, получим (y – x)(y + x) = (y – x)(y + x).
11. Мы видим, что получили равенство двух квадратных разностей.
12. Если рассмотреть случаи, когда y не равно x, y + x или y – x, то мы получим, что y = x или y = x + y, а это невозможно.
13. Значит, равенство (y – x)(y + x) = (y – x)(y + x) верно для любых x и y.
14. Поэтому равенство |AC| – |CE|^2 = |AB|^2 – |BE|^2 доказано для любой точки E, лежащей на высоте AD треугольника ABC.
