В остроугольном треугольнике АВС, медиана ВМ и биссектриса АL пересекаются в точке Q. Прямая CQ пересекает сторону АВ в точке Е. Известно, что АМ = АЕ. Докажите, что AQ перпендикулярна ЕМ.

Для доказательства того, что AQ перпендикулярна EM, мы можем использовать свойства медианы и биссектрисы в остроугольном треугольнике.

Шаг 1: Докажем, что треугольники ABL и CBL равны по стороне AB. Рассмотрим треугольники ABL и CBL. У них общая сторона AB и где AL является биссектрисой угла A в треугольнике ABL, и CL является биссектрисой угла C в треугольнике CBL. Поэтому углы ALB и CLB равны, и оба треугольника имеют общую сторону AB. Также известно, что сторона BL общая для обоих треугольников.

Шаг 2: Докажем, что треугольники ALM и CLK подобны. Рассмотрим треугольники ALM и CLK. Из шага 1 следует, что углы ALB и CLB равны. Кроме того, углы LAM и LCK равны, потому что AL является биссектрисой угла A, а CL является биссектрисой угла C. Значит, треугольники ALM и CLK имеют два равных угла и общую сторону AL. Поэтому они подобны.

Шаг 3: Докажем, что треугольники AMQ и CEQ равны. Так как AQ является медианой треугольника ABC, а EM является ее продолжением, мы можем сказать, что AMQ и CEQ подобны по третьей стороне и двум равным углам (из шага 2). Кроме того, из условия задачи известно, что AM = AE. Таким образом, треугольники AMQ и CEQ равны.

Шаг 4: Докажем, что AQ перпендикулярна EM. Рассмотрим треугольник AMQ. Он равнобедренный (из шага 3), поэтому угол AMQ равен углу QMA (так как AM = AQ). Поскольку угол QMA и угол EMQ являются смежными и дополнительными, они вместе составляют 180 градусов. Но это означает, что угол EMQ равен 90 градусам. Следовательно, AQ перпендикулярна EM.

Таким образом, мы доказали, что AQ перпендикулярна EM в остроугольном треугольнике АВС.