Пусть АВС – остроугольный треугольник, где АП и СК – высоты, угол АВС равен α, площадь треугольника АВС равна S.
Известно, что площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S = (1/2) * AB * AC * sin α.
Так как треугольник АВС остроугольный, синус угла α будет положительным. Поэтому S > 0 и AB * AC * sin α > 0.
Найдём площадь треугольника КПВ. Применим ту же формулу, где AB – сторона треугольника КПВ, AC – сторона треугольника КВ, α – угол между этими сторонами.
S_КПВ = (1/2) * AB * AC * sin α.
Но мы хотим найти только площадь треугольника КПВ и не знаем величины сторон AB и AC. Однако, заметим, что стороны треугольников АВС и КПВ являются пропорциональными, так как АП и СК – высоты треугольника АВС.
То есть, AB/AC = AP/CK.
У нас есть площадь треугольника АВС (S), поэтому можем основываясь на формуле площади треугольника S = (1/2) * AB * AC * sin α, соотношением пропорциональности и синусом угла АВС, выразить сторону AB через AC.
AB = (2 * S)/(AC * sin α).
Подставив полученное выражение в формулу для площади треугольника КПВ, получим:
S_КПВ = (1/2) * (2 * S)/(AC * sin α) * AC * sin α = S.
Таким образом, площадь треугольника КПВ равна площади треугольника АВС, то есть 72.