Пусть стороны параллелограмма ABCD равны a и b (a – длина стороны AD, b – длина стороны AB). Обозначим радиус вписанной окружности через r.
1. Известно, что для треугольника ABC радиус вписанной окружности связан с его полупериметром p и площадью S следующим образом: r = S/p.
2. Полупериметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон, деленной на 2: p = (a + b + |a – b|) / 2, так как в параллелограмме противоположные стороны равны.
3. По теореме Пифагора в треугольнике ADC с гипотенузой AC и катетами 3 и 4, справедливо равенство AC^2 = 3^2 + 4^2.
Это можно переписать в виде AC^2 = 25.
4. Известно, что расстояние от центра вписанной окружности O до стороны треугольника равно отношению площади треугольника к полупериметру: r = S/p.
5. Площадь треугольника ABC можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника следующим образом: S = r * p.
6. Подставляем выражение для площади в предыдущую формулу: r = r * p / p = S / p.
7. Подставляем известные значения в формулу для радиуса: 5 = S / ((a + b + |a – b|) / 2).
8. Производим замену переменных: x = a + b и y = |a – b|.
9. Заменяем значения переменных в уравнение: 5 = S / (x / 2).
10. Умножаем обе части уравнения на (x / 2): 10 = S / (x / 2).
11. Домножаем обе части уравнения на 2: 20 = S / x.
12. Умножаем обе части уравнения на x: 20x = S.
13. Находим площадь параллелограмма ABCD: S = 20x.
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 20 умножить на сумму сторон параллелограмма.