Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма как точку O. Так как P и Q делят диагональ BD на 3 равные части, то BP = 2PQ и QD = 2PQ.
Также, поскольку M и K – середины сторон DC и CB соответственно, то MC = 1/2DC и CK = 1/2CB.
Очевидно, что параллелограмм ABCD и параллелограмм DMBC имеют одинаковую высоту и одинаковую основание – сторону CB. Следовательно, отношение их площадей будет пропорционально отношению высот этих параллелограммов.
Площадь параллелограмма ABCD равна S = CB * h, где h – высота параллелограмма.
Аналогично, площадь параллелограмма DMBC равна S’ = CB * h’, где h’ – высота параллелограмма DMBC.
Поскольку сторона CB общая у этих двух параллелограммов, то отношение площадей будет просто отношением высот: S / S’ = h / h’.
Теперь рассмотрим треугольники OCP и ODM. Они оба имеют общую высоту, так как лежат на диагоналях параллелограмма, и их основания (стороны OC и OD) пропорциональны BP и QD соответственно. Значит, треугольники OCP и ODM подобны.
Таким образом, отношение площадей этих треугольников будет равно квадрату отношения соответствующих сторон:
(S’ / 3) / (S / 3) = (BP / OC)² = (2PQ / OC)².
Но OC = 2CK, так как O – середина стороны DC, и следовательно, BP = 2PQ / 2CK = PQ / CK.
Из полученного ранее соотношения S / S’ = h / h’ мы можем выразить h через h’: h = (S / S’) * h’.
Подставляя это в предыдущее соотношение, получим:
(2PQ / OC)² = (PQ / CK)².
Упрощая это выражение, получаем:
OC² = CK².
Таким образом, треугольник OCK – равнобедренный треугольник с основанием CK.
Теперь рассмотрим треугольники CQK и CPQ. Они также подобны, так как у них две пары соответствующих углов равны (треугольник CQK – равнобедренный треугольник, а треугольник CPQ – это треугольник, образованный диагоналями параллелограмма).
Следовательно, соотношение между сторонами этих треугольников будет равно отношению соответствующих сторон: CQ / CP = KQ / PQ. Используя данное нам ранее соотношение BP = PQ / CK, получаем:
CQ / CP = CK / BP.
CQ и CK – это отрезки из условия задачи, а CK и BP мы выразили через PQ.
В итоге, имеем систему уравнений:
OC² = CK²,
CQ / CP = CK / BP.
Отсюда можно найти отношение PQ / MN.