Пусть h1 – высота, опущенная на сторону АВ, h2 – высота, опущенная на сторону ВС, DC – длина стороны, параллельной АВ, а DA – длина стороны, параллельной ВС.
Из условия задачи известно, что h1 = 5 см и h2 = 10 см, а разность DC – DA равна 4 см.
Очевидно, что параллелограмм ABCD можно разделить на два треугольника, опущенных на стороны АВ и ВС соответственно. Площадь каждого треугольника равна половине произведения длины основания на высоту.
1. Найдем площадь треугольника, опущенного на сторону АВ:
S1 = (АВ * h1) / 2 = (АВ * 5) / 2
2. Найдем площадь треугольника, опущенного на сторону ВС:
S2 = (ВС * h2) / 2 = (ВС * 10) / 2
Обозначим DC = x. Тогда DA = x – 4.
3. Очевидно, что BC = DA = x – 4.
Используя свойство параллелограмма, что диагонали равны (AC = BD), получаем:
AC = BD = DA + BC = (x – 4) + (x – 4) = 2x – 8.
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей треугольников:
S = S1 + S2 = (АВ * 5) / 2 + (ВС * 10) / 2 = (5АВ + 10ВС) / 2.
Также из свойства параллелограмма DC = BA. Значит, DC = (АВ + ВС).
4. Подставим в формулу площади выражение для DC:
S = (5АВ + 10ВС) / 2 = (5АВ + 10(AB-DC)) / 2 = (5АВ + 10(АВ – (АВ + ВС))) / 2 = (5АВ + 10(АВ – АВ – ВС)) / 2
= (5АВ + 10(-ВС)) / 2 = (5АВ – 10ВС) / 2 = 5(АВ – 2ВС) / 2 = (5АВ – 10ВС) / 2.
Таким образом, площадь параллелограмма равна (5АВ – 10ВС) / 2.