Пусть ABCD – параллелограмм с острым углом B и E и F – точки пересечения прямых, соединяющих противоположные стороны параллелограмма. Пусть точка G – точка пересечения диагонали AC и прямой EF.
Воспользуемся теоремой Талеса. По условию, точка E делит сторону AB пополам, то есть AE = EB. Точка F делит сторону AD пополам, то есть AF = FD.
Теперь рассмотрим треугольник AEF. Так как AE = EB, то мы можем сделать вывод, что EF || BC (так как прямые, соединяющие середины параллельных сторон треугольника, параллельны соответствущим сторонам треугольника). То же самое верно и для стороны AD и прямой EF (FD = AF).
Таким образом, мы получаем, что треугольник AEF подобен треугольнику FDC по принципу AA (по двум параллельным прямым).
Значит, отношение сторон в треугольниках AEF и FDC равно отношению соответствующих сторон:
(AE / FD) = (EF / DC).
Используя равенства AE = EB и AF = FD, мы можем записать:
(EB / FD) = (EF / DC).
Таким образом, диагональ AC делится прямыми EF и GC в отношении EB / FD. Но EB / FD = 1 / 2, так как точки E и F делят стороны AB и AD пополам.
Таким образом, диагональ AC делится точкой G на три равные части.
Задача доказана.