Чтобы найти объем правильной 3-угольной усеченной пирамиды, нужно знать площадь ее основания и высоту.
Дано: стороны оснований равны 3 и 9 (пусть меньшая сторона равна а, а большая – b), боковое ребро образует с основанием 45°.
1. Найдем высоту пирамиды.
Так как боковое ребро образует с основанием 45°, то мы можем разделить пирамиду на два правильных треугольника, у которых гипотенуза – это боковое ребро, а катеты – стороны основания.
Таким образом, получаем прямоугольный треугольник со сторонами 3 и h, и треугольник со сторонами 9 и h, где h – высота пирамиды.
Применяя тригонометрические соотношения, можем найти высоту каждого треугольника. Для первого:
sin(45°) = 3/h
h = 3/sin(45°) = 3/√2 = (3√2)/2
2. Найдем площадь основания пирамиды.
Площадь треугольника можно найти по формуле S = (a*b*sin(γ))/2, где a и b – стороны основания, γ – угол между ними.
Так как γ = 45°, то площадь первого основания равна:
S₁ = (3*3*sin(45°))/2 = (9√2)/2
Площадь второго основания равна:
S₂ = (9*9*sin(45°))/2 = (81√2)/2
3. Найдем объем усеченной пирамиды.
Объем пирамиды можно найти по формуле V = (S₁ + S₂ + √(S₁ * S₂) * h)/3.
Подставив все значения, получаем:
V = ((9√2)/2 + (81√2)/2 + √(((9√2)/2) * ((81√2)/2)) * (3√2)/2)/3
= (45√2 + 405√2 + √(81*9*(√2)²) * (3√2))/6
= (450√2 + 243√2 + √(729*2))/6
= (450√2 + 243√2 + 27√2)/6
= (720√2)/6
= 120√2
Таким образом, объем правильной 3-угольной усеченной пирамиды равен 120√2.