Для начала обратим внимание на то, что плоскость, проходящая через прямую ВМ и параллельная SN, пересекает ребро CD. Для доказательства отношения деления этого ребра, введем следующие обозначения:
Пусть точка P – точка пересечения плоскости & и ребра CD. Пусть точка Q – точка пересечения прямой ВМ с плоскостью &. Тогда точка Q – точка деления ребра CD в отношении &:D, где D – точка пересечения ВМ с ребром AB. Также обозначим точку R – точку пересечения прямой ВМ с плоскостью пирамиды SABCD.
Так как плоскость & параллельна прямой SN, то прямая SN и прямая ВМ в пирамиде параллельны, следовательно, треугольники MSR и AVN подобны друг другу по признаку сходственных треугольников по двум углам.
Так как точка M – вершина пирамиды, то треугольники ABN и CBM подобны по теореме об альтитудах подобных треугольников.
Из подобия треугольников MSR и AVN следует, что AR/MS = AV/NV, а из подобия треугольников ABN и CBM следует, что AB/NB = BM/BC.
Теперь сравним отношения полученных соотношений:
AR/MS = AV/NV = AB/NB = BM/BC = AB/2NB, так как точка N – середина ребра AB.
Выразим NV через MS из первого соотношения, затем подставим данное выражение во второе соотношение:
AR/MS = AV/(2AV-AN) = AB/(2NB).
Упростим это соотношение:
AR/MS = AV/(2AV-AN) = AB/(2NB)
AR = AV * MS/(2V – N) = AB * MS/(2NB).
Мы получили отношение AR/AB = MS/2NB, значит, плоскость & делит ребро CD в отношении 1:2. Что и требовалось доказать.