Для решения задачи воспользуемся свойствами правильных четырехугольных пирамид.
Шаги решения:
1. Обозначим центр основания пирамиды как точку O.
2. Поскольку основание пирамиды является правильным четырехугольником, все его стороны равны.
3. Таким образом, длины сторон основания равны SA, SB, SC и SD.
4. Поскольку пирамида является правильной, ее ребра равны.
5. Значит, длины ребер пирамиды равны SO, SB, SD и SC.
6. Мы знаем, что SB = 10 и BD = 12.
7. По свойству равных длин ребер пирамиды, SO = SB = 10.
8. Ответ: SO = 10.
Таким образом, длина ребра пирамиды, которая соединяет вершину S и центр основания O, равна 10.