В правильной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями BD1 и B1D равен 90 °. Найти углы которые образует прямая B1D со следующими прямыми: а) AA1 б) A1C1

Пусть угол между диагоналями BD1 и B1D равен 90°. Тогда векторное произведение этих диагоналей равно нулю.
Вектор BD1 = (B-D1) = (B-A) + (A-A1) + (A1-D1) = (-AC1) + (-A1D1) = -AC1 – A1D1,
Вектор B1D = (B1-D) = (B1-A1) + (A1-A) + (A-D) = (A1A) + (A1D) = A1A + A1D.
Таким образом, векторное произведение BD1 и B1D равно:
(BD1 × B1D) = (-AC1 – A1D1) × (A1A + A1D).
Произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
Так как векторное произведение равно нулю, то BD1 коллинеарен с B1D.
Следовательно, углы B1DA1 и DA1B равны.
Для нахождения углов с прямыми, проведенными через точки A и A1 или A1 и C1, воспользуемся тем, что углы, образованные лучами и плоскостями, равны и свойством, что сумма углов треугольника равна 180°.
а) Углы прямой B1D с прямой AA1 равны углам A1DA.
Используя свойство, что углы треугольника в сумме дают 180°.
Поделив на два прямого угла получаем: A1DA = 90°.
Значит углы прямой B1D с прямой AA1 также равны 90°.
б) Углы прямой B1D с прямой A1C1 равны углам A1DA + A1AC1.
Мы уже знаем, что A1DA = 90°.
Угол A1AC1 можно найти, используя свойство, что углы треугольника в сумме дают 180°.
Угол A1AC1 + угол C1A1D1 + угол C1D1A1 = 180°.
Так как призма правильная, то угол C1A1B1 = 90°.
Значит, угол A1AC1 = 90° – угол C1A1D1 – угол C1D1A1.
Подставим в уравнение угол A1AC1 = 90° – угол C1A1D1 – угол C1D1A1.
Используя свойство, что углы треугольника в сумме дают 180°, и углы прямоугольной призмы, у которой A1C1B1 прямоугольный, равен 90°, получаем:
90° – (90°-угол A1B1C1) – (90°-угол C1A1B1) = 90°.
90° – (90°-90°) – (90°-90°) = 90°.
Значит, углы прямой B1D с прямой A1C1 также равны 90°.
Таким образом, ответ:
а) Углы прямой B1D с прямой AA1 равны 90°.
б) Углы прямой B1D с прямой A1C1 также равны 90°.