1) Пусть M и N – середины рёбер BF1 и F1E1 соответственно. Так как шестиугольник является правильным, то FM = ME1 = 1/2, а FN = NE1 = 1/2. Также AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1.
Рассмотрим треугольник F1MN. Так как MF1 = NF1 = 1/2 и углы FMN и FNM равны по две стороны и углу, то треугольник F1MN является равнобедренным.
Пусть H – середина стороны MN. Так как H лежит на прямой потой MF1 и MH = HF1, а треугольник MF1H является прямоугольным, то прямая HF1 перпендикулярна прямой F1E1.
Аналогично, рассмотрев треугольник F1HN, можно доказать, что прямая HF1 перпендикулярна прямой BF1.
Таким образом, прямая BF1 перпендикулярна прямой F1E1.
2) Чтобы найти расстояние от точки B до прямой E1F1, рассмотрим плоскость, содержащую точку B и параллельную плоскости E1F1F1B1. Далее, найдем пересечение этой плоскости с прямой E1F1.
Поскольку прямая BF1 перпендикулярна прямой F1E1, то они образуют плоскость, перпендикулярную плоскости E1F1F1B1.
Рассмотрим треугольник BFE1. Так как BE1 = BF1 = 1 и угол E1BF1 прямой, то треугольник BFE1 является прямоугольным.
Чтобы найти длину высоты треугольника BFE1, проведем высоту из вершины B к гипотенузе FE1. Обозначим точку пересечения высоты с гипотенузой как M.
Расстояние от точки B до прямой E1F1 будет равно длине отрезка BM.
Так как треугольник BFE1 прямоугольный, то по теореме Пифагора:
BM = √(BE1² – EM²) = √(1 – (1/2)²) = √(1 – 1/4) = √(3/4) = √3/2.
Таким образом, расстояние от точки B до прямой E1F1 равно √3/2.