Начнем с нахождения высоты треугольника на основании.
Так как треугольник правильный, его боковая сторона является радиусом описанного вокруг него круга, а высота проведена из вершины до середины основания.
Поэтому высота равна радиусу описанной окружности, а основание треугольника равно диаметру описанной окружности.
Таким образом, диаметр окружности равен периметру основания, то есть 18 см. Значит, радиус окружности равен половине диаметра, то есть 9 см. Следовательно, высота равна 9 см.
Теперь мы можем найти объем пирамиды, используя формулу V=1/3*A*h, где A – площадь основания, h – высота.
Площадь основания можно найти, зная, что площадь боковой поверхности равна 27 см2.
У пирамиды боковых сторон четыре, и общая площадь боковых сторон равна периметру основания, умноженному на апофему, поделенному на 2.
Таким образом, 27=18*a/2, где a – апофема. Получаем a=3 см.
Теперь мы можем найти площадь основания. Если основание – правильный треугольник со стороной s, тогда площадь может быть найдена как (s^2*sqrt(3))/4.
Подставим известные значения: (s^2*sqrt(3))/4 = (9^2*sqrt(3))/4 = 81*sqrt(3)/4.
Таким образом, площадь основания равна 81*sqrt(3)/4, и мы можем найти объем пирамиды: V=1/3*(81*sqrt(3)/4)*9 = 243*sqrt(3)/4 см3.
Теперь найдем апофему пирамиды, используя формулу объема для правильной пирамиды: V=(1/3)*A*h, где A – площадь основания, h – высота.
Подставим известные значения: 243*sqrt(3)/4=(1/3)*A*9, отсюда А=108/ sqrt(3). Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна 108/ sqrt(3) см2.
Найдем сторону основания треугольника, помня, что A=(s^2 * sqrt(3))/4, где s – сторона треугольника. Подставим известные значения: 108/ sqrt(3) = (s^2 * sqrt(3))/4, отсюда получаем s=6 см.
Теперь проверим, что угол у вершины пирамиды острый:
Если a, b, c – стороны треугольника, то косинус этого угла равен cos(alpha)=(a^2+b^2-c^2)/2ab.
Подставим известные значения: cos(alpha)=(6^2+6^2-18^2)/(2*6*6)=0,5.
Так как cos(alpha) больше нуля, это означает, что угол alpha острый.
В итоге, апофема пирамиды равна 3 см, угол при вершине пирамиды острый.
