а) Докажем, что прямые MF и NK пересекаются. Рассмотрим треугольники AMF и ANK. В этих треугольниках углы MAF и NAK соответственно равны 90 градусов, так как AM и AN — медианы треугольников SAB и SAC, а медиана в прямоугольном треугольнике проведена к гипотенузе (теорема о медианах).
Также угол AMF равен углу ANK, так как вершина пирамиды S является общей вершиной треугольников AMF и ANK.
Из этих двух фактов следует, что треугольники AMF и ANK подобны. По теореме о подобных треугольниках соотношение их сторон равно:
AF / AK = AM / AN.
Так как AM = AN (так как M и N — середины ребер AC и AB соответственно), то из этого соотношения следует, что AF = AK.
То есть, F и K лежат на одной прямой, а значит, прямые MF и NK пересекаются.
б) Для нахождения величины угла между прямыми MF и NK рассмотрим треугольник MNF и пирамиду SABC.
В треугольнике MNF имеем MN=NF=MF, так как M и N — середины соответствующих ребер треугольника SABC.
Таким образом, треугольник MNF — равносторонний. У него все углы равны 60 градусов.
Итак, угол MNF равен 60 градусов.
Поскольку угол MNF равен углу MNS, где S — вершина пирамиды, угол MNS равен 60 градусов.
Аналогично доказывается, что угол NKS равен 60 градусов.
Значит, угол между прямыми MF и NK равен сумме углов MNS и NSK, то есть 60 + 60 = 120 градусов.