Доказательство:
1. Рассмотрим треугольник ABC. Он является равносторонним треугольником, так как все его стороны равны 2.
2. Поскольку треугольник ABC равносторонний, его высоты также являются медианами и биссектрисами.
3. Так как точка М является серединой ребра AA1, то отрезок MB является медианой треугольника ABC, а значит, он делит сторону AC пополам.
4. Заметим, что треугольник B1C1A1 является подобным треугольнику ABC, так как имеет те же углы.
5. Так как MB делит сторону AC пополам, то отрезок MB1 также делит сторону A1C1 пополам.
6. Из пункта 5 следует, что треугольники MB1C1 и MBC подобны.
7. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны, а значит, отношение длины отрезка MB1 к длине отрезка MC1 равно отношению длины отрезка MB к длине отрезка MC.
8. Поскольку точка М является серединой ребра AA1, отношение длины отрезка MB к длине отрезка MC равно 1, то есть MB=MC.
9. Из пункта 8 следует, что отношение длины отрезка MB1 к длине отрезка MC1 также равно 1.
10. Значит, MB1=MC1, а это означает, что отрезок MB1 делит сторону A1C1 пополам.
11. Из пункта 10 следует, что отрезок MB1 параллелен стороне A1C1 и перпендикулярен стороне B1C.
12. Таким образом, прямые MB и B1C перпендикулярны. Вуаля!
