Пусть R1 – радиус шара, вписанного в призму, и R2 – радиус шара, описанного вокруг призмы.
1) Рассмотрим поперечное сечение призмы плоскостью, параллельной основаниям. Получится равнобедренный треугольник, так как основания призмы являются основаниями треугольника, а боковая сторона призмы – высотой треугольника.
2) Отметим точку O в центре поперечного сечения призмы. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника. Таким образом, получим 3 равных отрезка, соединяющих центр шара, вписанного в призму, с ребрами призмы.
3) Обозначим радиус описанного шара с помощью R2 и его центр с помощью точки O2. Из свойств шаров известно, что радиус шара перпендикулярен к его касательной. Значит, линия, проходящая через центр описанного шара O2 и точку касания с ребром призмы, является радиусом данного шара.
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник O2OO’, где O’ – точка пересечения радиуса описанного шара с ребром призмы.
5) Треугольники O2O’ и O2O подобны по двум углам, так как углы при вершине они оба прямые, а угол O2O’О равен углу O2OO’, так как это сопряженные углы при двух пересекающихся прямых. Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению радиусов R2/R1.
6) В прямоугольном треугольнике O2OC, где C – середина основания призмы, сторона OC равна половине высоты призмы, а сторона O2C равна радиусу описанного шара R2. Из теоремы Пифагора получаем, что OC^2 = O2C^2 + O2O’^2.
7) Учитывая то, что O2O’^2 = R1^2 – R2^2 (так как O2O’= R1- R2), получаем OC^2 = R2^2 + R1^2 – R2^2 = R1^2. Значит, OC = R1.
8) Таким образом, треугольник O2OC также является прямоугольным и подобным треугольникам O2O и O2O’, значит, отношение сторон OC/O2C равно отношению радиусов R1/R2.
9) Исходя из пунктов 5 и 8, получаем, что отношение радиусов шаров R2/R1 = R1/R2.
10) Сократив это выражение на R1, получаем R2/R1 = 1.
Ответ: отношение радиусов шаров R2/R1 = 1.