а) Для доказательства равенства углов ВСР и РОВ воспользуемся теоремой о произведении диагоналей в произвольном четырехугольнике:
Для любого четырехугольника ABCD с диагоналями АС и BD выполняется соотношение:
AC·BD = AB·CD + AD·BC. (1)
Рассмотрим четырехугольник BRPC. По условию, угол ВРС равен 135° и BC – диагональ прямоугольника, значит, угол ВСР равен 135°-90° = 45°.
А теперь рассмотрим четырехугольник BROD (где D – середина AС). Угол BDC равен 22,5°, значит, угол BDO равен 45°. Угол ОBC = 90°, а, значит, угол BOR = 90°- 45° = 45°. Таким образом, BR и OR – диагонали четырехугольника BROD.
Возвращаясь к соотношению (1) для четырехугольника BRPC, получим:
BR·PC = BP·RC + RP·BC. (2)
Заметим, что RC = BD, BR = AB, BC = RO.
Получаем:
BP·BD + RP·RO = BR·BC = AB·RO.
Так как PD = BD и PO = RO, то можно переписать это соотношение так:
BP·PD + RP·PO = AB·PO.
Поделив обе части на PD·PO, получим:
BP/PD + RP/PO = AB/PO.
Заметим, что первое слагаемое равно tg ВПД, второе – tg РПО, а третье – tg АПО.
Таким образом, tg ВПД + tg РПО = tg АПО.
То есть, углы ВСР и РОВ равны.
б) Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов в треугольнике BPC.
В треугольнике BPC угол В равен 90° (прямой угол), угол B равен 22,5° (по условию), а угол P равен 135° (по условию).
Применяя теорему синусов, имеем:
BP/sinB = PC/sinP.
Заменяем значения и находим PC:
7/sin22,5° = PC/sin135°.
Выразив PC, получаем:
PC = 7 * sin135° / sin22,5°.
Аналогично, применяя теорему синусов в треугольнике CPR, получаем:
PR/sinB = PC/sinP.
Заменяем значения и находим PR:
PR/sin22,5° = PC/sin135°.
Выразив PR, получаем:
PR = PC * sin22,5° / sin135°.
Зная значения PC и PR, можем найти PD и DF:
PD = PC, так как PD = BD, а BD = PC.
DF = PR – PF, где PF – известное значение прямоугольника PR.