Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами параллелограмма и правильного треугольника.
1. Обозначим через M точку пересечения прямых BD и AD1.
2. Так как AB || CD, то из свойств параллельных прямых следует, что треугольники AAB1 и MCD подобны.
3. Рассмотрим треугольник AAB1. С помощью теоремы Пифагора найдем длину поперечного ребра A1B1: A1B1^2 = AAB1^2 – AA1^2 = (AB^2 + B1B^2) – AA1^2 = (2√2)^2 + 1^2 – 1 = 8 + 1 – 1 = 8.
Таким образом, A1B1 = √8 = 2√2 см.
4. Из свойств правильного треугольника A1B1C1 следует, что угол C1A1B1 равен 60 градусам.
5. Также из свойств параллелограмма ABDC следует, что угол BAD равен углу A1DB1.
6. Рассмотрим треугольник A1DB1. По теореме косинусов найдем косинус угла между прямыми BD и AD1:
cos(угла DBD1) = (A1B1^2 + B1D1^2 – A1D1^2) / (2 * A1B1 * B1D1)
= (2√2^2 + 2√2^2 – 2^2) / (2 * 2√2 * 2)
= (8 + 8 – 4) / (4√2)
= 12 / (4√2)
= 3 / √2
= (3√2) / 2.
Таким образом, косинус угла между прямыми BD и AD1 равен (3√2) / 2.